Calcul de sommes complexes - Corrigé

Énoncé

Soit `x`  un réel. On cherche à trouver une expression explicite des sommes : \(C=\sum\limits_{k=0}^n \cos(kx) =1+\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos(nx)\)  
et  \(S=\sum\limits_{k=0}^n \sin(kx) =\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(nx)\) .

1. Exprimer \(C+iS\) comme une somme d'exponentielles complexes.

2. On suppose que  \(x\) n'est pas un multiple de \(2\pi\) .
    a. Calculer \(\sum\limits_{k=0}^n \text e^{ikx}\) .
    b. Démontrer que \(1-\text e^{ix}=-2i\text e^{i\frac{x}{2}}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\) .
    c. Démontrer que \(1-\text e^{i(n+1)x}=-2i\text e^{i\frac{(n+1)x}{2}}\sin\left(\dfrac{(n+1)x}{2}\right)\) .
    d. En déduire que \(C+iS=\text e^{i\frac{nx}{2}} \times\dfrac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\) .
    e. En déduire la valeur de  \(C\) et celle de  \(S\) .

3. Étudier le cas où  \(x\) est un multiple de \(2\pi\) .

4. Applications
Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geqslant 2\) .
    a. Calculer \(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) +\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) +... +\cos\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)\) .
    b. Démontrer que
\(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) +\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) +... +\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right) =\dfrac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\) .

Solution

1. On a : \(\begin{align*}C+iS=\sum\limits_{k=0}^n \cos(kx)+i\sum\limits_{k=0}^n \sin(kx)=\sum\limits_{k=0}^n \left(\cos(kx)+i\sin(kx)\right)=\sum\limits_{k=0}^n \text e^{ikx}.\end{align*}\)

2. a. Comme \(\text e^{ikx} \neq 1\) , car  \(x\) n'est pas un multiple de \(2\pi\) , on peut utiliser la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique :
\(\begin{align*}\sum\limits_{k=0}^n \text e^{ikx}=\sum\limits_{k=0}^n \left(\text e^{ix}\right)^k=\frac{1-\left(\text e^{ix}\right)^{n+1}}{1-\text e^{ix}}=\frac{1-\text e^{i(n+1)x}}{1-\text e^{ix}}.\end{align*}\)

    b. On a :
\(\begin{align*}1-\text e^{ix}= \text e^{i\frac{x}{2}}\left(\text e^{-i\frac{x}{2}}-\text e^{i\frac{x}{2}}\right)& = -\text e^{i\frac{x}{2}}\left(\text e^{i\frac{x}{2}}-\text e^{-i\frac{x}{2}}\right)\\& = -\text e^{i\frac{x}{2}} \times 2i\sin\left(\frac{x}{2}\right)\\& = -2i\text e^{i\frac{x}{2}}\sin\left(\frac{x}{2}\right).\end{align*}\)

    c. On a :
\(\begin{align*}1-\text e^{i(n+1)x}= \text e^{i\frac{(n+1)x}{2}}\left(\text e^{-i\frac{(n+1)x}{2}}-\text e^{i\frac{(n+1)x}{2}}\right)& = -\text e^{i\frac{(n+1)x}{2}}\left(\text e^{i\frac{(n+1)x}{2}}-\text e^{-i\frac{(n+1)x}{2}}\right)\\& = -\text e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \times 2i\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\\& = -2i\text e^{i\frac{(n+1)x}{2}}\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right).\end{align*}\)

    d. D'après toutes les questions précédentes, \(\begin{align*}C+iS=\sum\limits_{k=0}^n \text e^{ikx}=\frac{1-\text e^{i(n+1)x}}{1-\text e^{ix}}& = \frac{-2i\text e^{i\frac{(n+1)x}{2}}\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{-2i\text e^{i\frac{x}{2}}\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\\& = \text e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \times \text e^{-i\frac{x}{2}} \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\\& = \text e^{i\frac{nx}{2}} \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}.\end{align*}\)

e. En identifiant d'une part les parties réelles, d'autre part les parties imaginaires, dans l'égalité ci-dessus, on obtient : \(\begin{align*}C=\cos\left(\frac{nx}{2}\right) \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\ \ \text{ et } S=\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}.\end{align*}\)

3. Si  \(x\) est un multiple de \(2\pi\) , alors  \(x=2p\pi\) avec \(p \in \mathbb{Z}\) . On en déduit que : \(\begin{align*}C=\sum\limits_{k=0}^n \cos(k \times 2p\pi)=\sum\limits_{k=0}^n 1=n+1\ \ \text{ et } \ \S=\sum\limits_{k=0}^n \sin(k \times 2p\pi)=\sum\limits_{k=0}^n 0=0.\end{align*}\)

4. a. On note \(c_n=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) +\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+... +\cos\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)\) .
On a alors \(C=1+c_n+\cos\left(n \times \frac{\pi}{n}\right)=1+c_n+\cos(\pi)=c_n\) en prenant \(x=\frac{\pi}{n}\) , et donc 
\(\begin{align*}c_n=C=\underbrace{\cos\left(\frac{n}{2} \times \frac{\pi}{n}\right)}_{=0} \times\frac{\sin\left(\frac{(n+1)}{2} \times \frac{\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{n}\right)}=0.\end{align*}\)

    b. On note \(s_n=\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right) +\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) +... +\sin\left(\dfrac{(n-1)\pi}{n}\right)\) .
On a alors \(S=s_n+\sin\left(n \times \dfrac{\pi}{n}\right)=s_n+\sin(\pi)=c_n\) en prenant \(x=\dfrac{\pi}{n}\) , et donc
\(\begin{align*}s_n=S& = \underbrace{\sin\left(\frac{n}{2} \times \frac{\pi}{n}\right)}_{=1} \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)}{2} \times \frac{\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{n}\right)}\\& = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\\& = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\\& = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\\& = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)}.\end{align*}\)